Nouvelles perspectives sur l'histoire du précisaillement dans les sols granulaires

Rapports scientifiques volume 13, Numéro d'article : 4576 (2023) Citer cet article

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La conception de talus de décharge profonds pour les mines à ciel ouvert nécessite généralement des informations sur la résistance du sol à la liquéfaction lors des tremblements de terre. Cette résistance dépend non seulement de la contrainte initiale, de la densité initiale et de l'amplitude du chargement cyclique, mais également du précisaillement, c'est-à-dire du chemin de contrainte déviatorique appliqué au sol avant le chargement cyclique. Pour explorer l'influence du précisaillement sur le comportement ultérieur du sol, un ensemble d'essais triaxiaux avec une combinaison de cycles de précisaillement non drainé et de contraintes drainées utilisant deux méthodes de préparation d'échantillons est présenté. Il est montré que le précisaillement ainsi que la méthode de préparation ont une influence majeure sur l'accumulation de déformation lors du chargement cyclique. Les simulations des expériences avec quatre modèles constitutifs avancés révèlent que ni l'effet durable du précisaillement ni la méthode de préparation ne peuvent être capturés de manière adéquate par tous les modèles. Cette déficience des modèles constitutifs peut conduire à des conceptions peu sûres en raison de la surestimation de la résistance cyclique à la liquéfaction et à la sous-estimation des tassements à long terme.

Les évaluations de la stabilité des pentes et des tassements à long terme font partie des aspects les plus difficiles de la conception des talus de décharge pour les mines de lignite à ciel ouvert. Cela vaut en particulier pour les mines profondes, comme Hambach (Allemagne), où les couches granulaires lâchement déversées peuvent atteindre une profondeur de 400 m et la remise en culture de la zone après l'extraction du lignite est prévue, voir Fig. 1. Pour éviter des événements catastrophiques, la conception des talus de décharge nécessite des informations sur la résistance du sol à la liquéfaction lors d'éventuels tremblements de terre. Mais même si la liquéfaction n'a pas lieu, une accumulation excessive de tassements due à un chargement cyclique et/ou quasi-statique pendant et après l'inondation des eaux souterraines peut mettre en danger les processus de remise en culture. A noter qu'un séisme (cisaillement non drainé) peut présenter le précisaillement du prochain chargement sismique. Des prédictions adéquates de la liquéfaction et de l'accumulation de contraintes et de déformations lors du chargement cyclique, y compris l'influence de la densité et de la méthode de dépôt sur le comportement du sol, sont donc essentielles.

Vue du côté extraction de la mine à ciel ouvert de lignite de Hambach (côté gauche) d'une surface de 85 km\(^2\) et d'une profondeur de 400 m créée avec pelle à charbon et dépotoir (côté droit)1.

En ce qui concerne la liquéfaction, l'influence de la densité, de la contrainte de consolidation ainsi que l'amplitude du chargement cyclique ont été largement étudiées au cours des dernières décennies. En général, les essais triaxiaux non drainés sur des échantillons consolidés sous direction isotrope montrent que les échantillons denses nécessitent plus de cycles de la charge appliquée pour atteindre la liquéfaction que les échantillons lâches. Cependant, cela n'est pas vrai lorsque les directions de préchargement et de chargement ultérieur diffèrent.

À l'aide d'essais triaxiaux non drainés, Ishihara et Okada2 ont étudié l'influence de l'historique de chargement (préchargement) sur la résistance à la liquéfaction du sable de la rivière Fuji. Ils ont interprété le préchargement comme une précompression ou un précisaillement. En cas de précompression, le sol a subi une contrainte de compression isotrope supérieure à celle au début du cisaillement ultérieur. En cas de précisaillement, le sol subit une contrainte déviatorique donnée avant le chargement ultérieur. En augmentant le rapport de contrainte à partir de l'axe de contrainte isotrope pendant le précisaillement, ils ont observé une tendance de l'échantillon à se contracter tandis que des déformations de cisaillement relativement faibles se développaient. Dans des conditions drainées, la contraction entraîne une augmentation de la déformation volumétrique, tandis que dans des conditions de cisaillement non drainées, elle entraîne une augmentation de la pression interstitielle excessive. Une augmentation supplémentaire du rapport de contrainte a conduit, au contraire, à une dilatation et à des déformations de cisaillement beaucoup plus importantes. Dans des conditions drainées ou non drainées, la dilatation entraîne une diminution de la déformation volumétrique ou de la pression interstitielle excessive (augmentation de la contrainte effective moyenne), respectivement. Dans2 ainsi que largement dans la littérature géotechnique, le rapport de contrainte auquel le comportement du sol passe de la contraction à la dilatation est désigné par la ligne de transformation de phase (PTL). En conséquence, les historiques de chargement atteignant des rapports de contrainte inférieurs à PTL ont été appelés petit précisaillement tandis que ceux allant au-delà de PTL ont été appelés grand précisaillement. La figure 2 (numérisée à partir de 2) montre le comportement du sable de la rivière Fuji soumis à un important précisaillement suivi d'un chargement cyclique non drainé. Après quelques cycles avec une amplitude de contrainte déviatorique de \(q^{{\text{ampl }}}=0,4\) kg/cm\(^2\) (premier chargement), l'échantillon a été chargé au-delà du PTL (grand précisaillement) avec une contrainte déviatorique de \(q\environ 1,1\) kg/cm\(^2\). Ensuite, l'excès de pression d'eau interstitielle résultant a été dissipé en ouvrant le drainage jusqu'à ce que la contrainte effective isotrope initiale (p = 1,0 kg/cm\(^2\)) soit récupérée (reconsolidation). Enfin, l'échantillon a été soumis à des cycles non drainés de contrainte déviatorique (deuxième chargement) avec la même amplitude que lors du premier chargement. L'expérience montre que la contrainte effective diminue plus rapidement avec le nombre de cycles de chargement pour le cas de précisaillement important (deuxième chargement) que pour le cas sans précisaillement (premier chargement). Même si l'indice des vides avant le deuxième chargement (\(e=0,825\)) est inférieur à celui avant le premier chargement (\(e=0,840\)), l'état plus dense soumis à la même amplitude de chargement se liquéfie plus facilement. Par conséquent, l'historique de chargement (préchargement) joue un rôle majeur (parfois même plus important que la densité) dans le comportement du matériau et peut réduire considérablement sa résistance à la liquéfaction.

Comportement du sable soumis à un précisaillement important sur le sable de la rivière Fuji par Ishihara et Okada2 (données numérisées).

Plusieurs études dans la littérature2,3,4,5,6,7 ont démontré qu'un historique de préchargement composé de cycles drainés ou non drainés avec de petites amplitudes de déformation (disons moins de 1%) augmente généralement la résistance à la liquéfaction lors d'une deuxième phase non drainée après la reconsolidation (des observations similaires ont été faites dans des essais cycliques drainés concernant une réduction du taux de tassement8). En revanche, une réduction considérable de la résistance cyclique non drainée peut être causée par une mobilité cyclique préalable impliquant de grandes amplitudes de déformation ou par une précharge monotone drainée accompagnée de dilatance2,3,4. Une telle réduction est parfois également observée in situ, lorsqu'une reliquéfaction du sable se produit lors d'un événement de réplique avec une intensité plus faible que le séisme principal9. D'autres aspects de l'historique de préchargement en fonction des techniques de préparation des échantillons sont discutés dans10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20, indiquant que la résistance à la reliquéfaction du sable est beaucoup plus sensible à la microstructure formée par la consolidation après le chargement au stade précoce que sa résistance quasi statique9,21. Oda el al. (2001) ont conclu, sur la base d'enquêtes sur des échantillons de sable de Toyoura, que l'anisotropie inhérente, donc l'orientation préférée des normales de contact, est l'un des facteurs les plus importants dans le contrôle de la résistance à la liquéfaction. L'anisotropie inhérente est cependant facilement modifiée dans le processus de cisaillement ultérieur, et une nouvelle anisotropie (anisotropie induite) est produite22. L'anisotropie induite par une structure en forme de colonne et des vides connectés, qui se développent tous deux parallèlement à la direction de la contrainte principale majeure, est responsable de la réduction drastique de la résistance à la liquéfaction par précisaillement. Les vides connectés entre les colonnes voisines sont facilement fermés lorsqu'ils sont d'abord sollicités perpendiculairement à leur direction d'allongement, ce qui provoque une contraction volumique importante dans des conditions drainées et une augmentation rapide de la pression interstitielle excessive dans des conditions non drainées9. La forme des vides, ainsi que leur taille, est particulièrement importante pour évaluer la résistance à la liquéfaction du sable précisaillé9. En outre23, rencontré la distribution spatiale et temporelle du tissu, les contacts entre les grains et les vides tout au long d'un échantillon de sable Hostun même à l'état initial hétérogène.

Contrairement au phénomène de liquéfaction bien étudié et malgré son importance pour la conception des projets de remise en culture, l'influence du petit et du grand précisaillement sur l'accumulation de déformation lors du chargement cyclique a reçu moins d'attention jusqu'à présent. Dans cet article, le développement de la déformation le long d'un chemin de contrainte prescrit avec des rapports de contrainte variables pour différents historiques de chargement est étudié. Les essais ont été réalisés sur un dispositif d'essai triaxial avec contrôle indépendant des contraintes verticales et horizontales. Les historiques de chargement incluent de grands et petits précisaillements à la fois en compression triaxiale et en extension. Les résultats des expériences ont été comparés avec des simulations numériques de quatre modèles constitutifs avancés pour le sable afin d'examiner leur capacité à suivre l'historique du chargement. Les effets des techniques de préparation des échantillons ont également été abordés.

L'article est structuré comme suit : le chapitre deux décrit les propriétés du sable fin de Karlsruhe, les détails du dispositif triaxial et la préparation des échantillons. Le chapitre trois montre les chemins de déformation résultants pour différents historiques de chargement, tandis que dans le chapitre quatre, les expériences sont comparées aux simulations numériques. Des simulations des expériences d'Ishihara et d'Okada2 sont également incluses. Après les conclusions du chapitre cinq, les modèles constitutifs sont brièvement décrits dans quatre annexes.

La notation de cet article est spécifiée comme suit : les vecteurs et les tenseurs du second ordre sont indiqués par des symboles en gras, par exemple la contrainte de Cauchy effective \({{\varvec{\sigma }}}\) et le tenseur de déformation \({{\varvec{\varepsilon }}}\). Les lettres calligraphiques en gras désignent les tenseurs du quatrième ordre (par exemple \(\pmb {\mathcal {M}}\)). Les opérations tensorielles sont utilisées selon la convention de sommation d'Einstein. Les conventions de la mécanique du continuum sont suivies, c'est-à-dire que la compression est définie négativement.

\(||\textbf{X}||=\sqrt{{\rm tr}\,\textbf{X}^2}\) est la norme de Frobenius de \(\textbf{X}\), où \({\rm tr}\,\textbf{X}\) est la somme des composantes diagonales de \(\textbf{X}\). \(\mathring{{{\varvec{\sigma}}}}\) est le taux de contrainte objectif co-rotationnel. Le tenseur d'étirement \({{\varvec{\varepsilon }}}\) est la partie symétrique du gradient de vitesse. L'indice des vides e est le rapport du volume des vides \(V_v\) au volume des solides \(V_s\). \(p=-1/3{~\rm tr}\,{{\varvec{\sigma }}}\) est la contrainte effective moyenne, \(\varepsilon _{\text{ v }}={\rm tr}\,{{\varvec{\varepsilon }}}\) est la déformation volumétrique. Lorsqu'il s'agit de conditions axisymétriques, le plan Rendulic est utilisé à des fins d'illustration en géotechnique. Ainsi, la contrainte axiale est désignée par \(\sigma _1'\) et la contrainte radiale par \(\sigma _2' (=\sigma _3')\) et les déformations respectives sont \(\varepsilon _1\) et \(\varepsilon _2=\varepsilon _3\). Les invariants de Roscoe restants pour les conditions triaxiales sont définis comme \(q=-(\sigma _1-\sigma _2)\) et \(\varepsilon _q=-2/3\,(\varepsilon _1-\varepsilon _2)\). Les valeurs initiales sont étiquetées avec l'indice \(\sqcup _0\).

Les variables isométriques \(P = \sqrt{3} p\) et \(Q = \sqrt{3/2}\, q\)24 sont avantageuses dans le cadre d'études sur l'influence du chargement cyclique car les longueurs des chemins de contraintes et les angles entre deux polarisations sont conservés lorsqu'ils sont transférés d'un système de coordonnées de contraintes principales au plan PQ, contrairement à la représentation pq. Dans l'espace des déformations, les variables de déformation isométriques appartenantes sont \(\varepsilon _P = \varepsilon _v/\sqrt{3}\) et \(\varepsilon _Q = \sqrt{3/2}\, \varepsilon _q\).

Le sable fin uniforme de Karlsruhe" (KFS, granulométrie moyenne \(d_{50}\) = 0,14 mm, coefficient d'uniformité \(C_u = d_{60}/d_{10}\) = 1,5, indice des vides minimum \(e_{\min }\) = 0,677 et indice des vides maximum \(e_{\max }\) = 1,05425,26, densité des grains \ (\varrho _{s}\) = 2,65 g/cm\(^3\), forme de grain subangulaire) a été utilisé dans les expériences. La courbe de distribution granulométrique et une image microscopique des grains sont présentées à la Fig. 3.

Courbe de distribution granulométrique après27 du KFS utilisé et image microscopique d'un grain sur28.

Un schéma du dispositif triaxial qui a été utilisé pour tous les essais triaxiaux est illustré à la Fig. 4. Dans ce dispositif, la charge verticale cyclique est appliquée par le bas à l'aide d'un système de charge pneumatique. La charge verticale est mesurée au niveau d'une cellule de charge située directement sous la plaque de base de l'échantillon. Pour le chargement cyclique de la contrainte latérale, un autre système de chargement pneumatique a été connecté au volume de la cellule. Le déplacement vertical est mesuré avec un capteur de déplacement avec une précision et une résolution de 10 \(\upmu\)m monté sur le piston de charge. La déformation du système a été soigneusement déterminée lors d'essais préliminaires sur un mannequin en acier et soustraite des déplacements mesurés. Les échantillons ont été testés entièrement saturés d'eau et les changements de volume ont été obtenus à partir de l'eau interstitielle expulsée ou aspirée à l'aide d'un système de deux burettes (une connectée aux lignes de drainage, une avec un niveau d'eau constant) et un transducteur de pression différentielle. Les plaques d'extrémité étaient équipées de petites pierres poreuses centrales (diamètre 15 mm). Le frottement au niveau des plaques d'extrémité a été réduit en enduisant les plaques d'extrémité d'une fine couche de graisse suivie d'un disque en caoutchouc latex de 0,4 mm d'épaisseur. Des membranes en latex de 0,4 mm d'épaisseur ont été utilisées pour entourer l'échantillon. L'application des chemins de contraintes nécessite la variation cyclique de la pression cellulaire, ce qui peut conduire à des effets de pénétration membranaire29,30. Celles-ci se sont avérées négligeables pour \(d_{50}\) = 0,14 mm1.

Schéma de dispositif triaxial pour essais cycliques31,32.

Les échantillons de cylindres pleins, de diamètre d = 100 mm et de hauteur h = 200 mm, ont été préparés en utilisant soit la méthode de pluviation à l'air sec (AP, Fig. 5a) soit la méthode de bourrage humide (MT, Fig. 5b). La combinaison d'éprouvettes avec h/\(d = 2\) et de plaques d'extrémité graissées conduit à une répartition plus homogène de l'indice des vides aux états étudiés ici proches de l'état limite. La méthode AP est réalisée par ruissellement manuel à partir d'un entonnoir. Il en résulte une structure similaire de la structure granulaire à celle des sols naturellement sédimentés. Le sable est versé dans la trémie au moyen d'une pelle. À l'aide de l'entonnoir, le sable est versé dans le moule. En faisant varier deux tailles différentes (1. diamètre de sortie de la buse sous la trémie et 2. hauteur de chute) et leurs combinaisons, une densité relative souhaitée peut être obtenue. Pendant le processus de pavage, la trémie est continuellement déplacée dans le sens horizontal pour garantir toujours une surface à peu près plane de l'échantillon. La hauteur de chute est maintenue aussi constante que possible pendant le processus de pavage (Fig. 5a). Le sable est coulé jusqu'à environ 3 mm au-dessus du haut du moule. Après le processus de ruissellement, la surface de l'échantillon est soigneusement grattée avec une règle.

En utilisant la méthode MT selon Ladd (1978)33, l'échantillon est monté dans un certain nombre de couches en utilisant un degré de sous-compactage sélectionné. Dans le cas des éprouvettes de 200 mm de hauteur, 8 couches et un degré de sous-compactage de U = 10 % ont été choisis. La procédure de pilonnage humide est réalisée au moyen d'un pilon réglable en hauteur (Fig. 5b). Le pilon utilisé est constitué du poids tassé (diamètre 50 mm, correspondant à la moitié du diamètre de l'échantillon), de la tige qui lui est reliée et d'un guide de cette tige dans une traverse. Un anneau en PVC est placé sur la protection anti-retour en tant que traverse d'autoprotection. La traverse peut être librement déplacée horizontalement sur le bord supérieur de l'anneau en PVC. Une entretoise mobile et fixe est utilisée pour régler la hauteur à laquelle l'échantillon doit être pressé lors du pavage d'une couche particulière. La hauteur de l'éprouvette après estampage d'une couche est déterminée en tenant compte du degré de sous-compactage spécifié. Avant l'estampage de chaque couche, le tamper est ajusté à l'épaisseur de couche calculée et place le sous-échantillon destiné à la couche dans le gabarit de spécimen. Celui-ci est réparti uniformément sur la section transversale de l'échantillon, puis compacté avec le pilon. Afin d'obtenir la distribution la plus homogène de la densité de couche, le pilon doit être déplacé en continu dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Ensuite, les pores des échantillons ont d'abord été coulés de CO\(_2\) avant d'être complètement saturés d'eau pour permettre une mesure précise des variations de volume. Celles-ci ont été réalisées au moyen d'un transducteur de pression différentielle DPT avec une pleine échelle de 10 mbar et une résolution de 65 \(\mu\)m qui était connecté à un système de pipette de 1 m de long utilisant une contre-pression de 500 kPa conduisant à des valeurs B supérieures à 0,98.

Préparation de l'échantillon par (a) méthode de pluviation à l'air sec (AP) et (b) technique de bourrage humide (MT)34.

En plus des essais cycliques non drainés par Ishihara et Okada2, des expériences étendues avec des chemins de contraintes non drainés et drainés prenant en compte des historiques de précisaillement petits et grands ont été réalisées dans le dispositif triaxial cyclique présenté. Dans tous les essais, les mêmes chemins de chargement cycliques drainés ont été appliqués, mais différents historiques de précisaillement ont été pris en compte. Les échantillons denses de KFS ont été préparés avec une densité initiale égale (\(D_{r0} = (e_{\max } - e)/(e_{\max } - e_{\min }) \environ 0,8\)) comme spécifié dans les tableaux 1 et 2. La figure 6 montre les résultats d'expériences sélectionnées utilisant la méthode AP, tandis que la figure 7 présente les résultats correspondants pour la méthode MT. Toutes les conditions initiales et de précisaillement des essais sont résumées dans les tableaux 1 et 2.

L'essai AP1 sans historique de précisaillement non drainé représente l'essai de référence (Fig. 6a). Partant d'un état de contrainte isotrope avec une contrainte effective moyenne initiale \(p_0\) = 100 kPa, des chemins de contrainte pq drainés de longueur \(l_{pq} = \sqrt{p^2+q^2}=40\) kPa ont été étudiés sous 16 rapports de contrainte différents \(\eta\) (= q/p) dans la zone de compression et d'extension (Fig. 6a). Un cycle a été appliqué pour chaque rapport de contrainte. Les rapports de contrainte \(\eta\) ont été variés par étapes de \(\Delta \eta\) = 0,125 (\(\eta = 1,125 ; 1,00 ; 0,875 ; \dots ; -0,625\) et \(-0,750\)). Le premier chemin de contrainte avec un rapport de contrainte \(\eta\) = 1,125 représente un chargement et un déchargement de l'éprouvette. Chaque chemin de contrainte de rapport de contrainte \(\eta _i\) (chargement) est donc suivi d'un autre chemin de contrainte \(-\eta _i\) (déchargement), jusqu'à ce que l'état de contrainte initial p = 100 kPa et q = 0 kPa soit atteint. Après cela, le chemin de contrainte suivant est appliqué avec \(\eta _{i+1}\). De manière analogue, les 15 autres chemins de contraintes ont été appliqués jusqu'au 16ème chemin de contraintes avec \(\eta = -0.750\). Cela a été fait par une séquence préprogrammée de rampes linéaires de chargement et de déchargement. Les chemins de déformation mesurés sont illustrés à la Fig. 6a à droite. La densité initiale \(D_{r1}\) avant le début du premier chemin de contrainte (\(\varepsilon _P\) = \(\varepsilon _Q\) = 0) est restée pratiquement inchangée par rapport à la densité relative après le processus de préparation, c'est-à-dire \(D_{r1}\) = \(D_{r0}\) = 78 %. Pour étudier l'influence d'un historique de précisaillement sur le comportement du matériau lors d'un chargement cyclique ultérieur, des échantillons supplémentaires ont été préchargés dans des conditions non drainées avant l'application des chemins de chargement drainés dans la zone de compression ou d'extension, comme spécifié dans le tableau 1.

Dans l'essai AP3 avec un précisaillement en compression triaxiale, une augmentation de la contrainte déviatorique à q = 128,5 kPa a d'abord été réalisée le long de la ligne d'état critique dans l'espace p–q, voir Fig. 6b. Il a été suivi d'un déchargement non drainé, d'une ouverture du drainage et d'un ajustement de l'état de contrainte pré-cyclique initial \(p = 100\) kPa, \(q = 0\) kPa. Le graphique sur le côté droit de la figure 6b montre les chemins de déformation obtenus au cours des cycles de contrainte drainés suivants. Les composantes de déformation déviatoriques obtenues sont environ 3 fois plus grandes dans la direction opposée du précisaillement que dans le test de référence sans précisaillement (Fig. 6a), qui sera abordée dans la section suivante avec la discussion sur les performances des modèles constitutifs. Sur la base du chemin de contrainte effectif pendant le précisaillement non drainé de la Fig. 6b, l'angle de frottement au niveau de la ligne de transformation de phase (PTL) peut être déterminé à \(\varphi _{PTL} = \arcsin (3\cdot \eta _{PTL}/(6+\eta _{PTL})) = {26,78^\circ }\). Après un précisaillement non drainé dans la zone d'extension (Fig. 6c), l'application du premier chemin de contrainte drainé avec un rapport de contrainte \(\eta\) = 1,125 a montré une déformation beaucoup plus importante que pour les chemins de chargement et de déchargement ultérieurs. Une comparaison des chemins \(\varepsilon _P\)-\(\varepsilon _Q\) de la Fig. 6b,c du point de vue constitutif suggère une rotation de la surface de rupture due à l'histoire de précisaillement non drainée et à l'écrouissage le long de la direction de précisaillement.

Résultats des tests sur KFS avec un angle de frottement critique \(\varphi _c\) = 33,1\(^\circ\) : (a) sans historique de précisaillement du test AP1 comme test de référence, (b) historique de précisaillement dans la zone de compression du test AP3 avec angle de frottement mobilisé \(\varphi _{\text {mob}}\) = 32,4\(^\circ\) et (c) historique de précisaillement dans la zone d'extension du test AP9 avec angle de frottement mobilisé \ (\varphi _\text {mob}\) = 29.1\(^\circ\). \(D_{r0}\) après préparation de l'échantillon (pluie d'air) et \(D_{r1}\) au début des chemins de contrainte drainés.

Résultats des tests sur KFS avec un angle de frottement critique \(\varphi _c\) = 33,1\(^\circ\) : (a) sans historique de précisaillement du test MT1 comme test de référence, (b) historique de précisaillement dans la zone de compression du test MT2 avec angle de frottement mobilisé \(\varphi _\text {mob}\) = 32,7\(^\circ\) et (c) historique de précisaillement dans la zone d'extension du test MT3 avec angle de frottement mobilisé \(\varphi _\text {mob}\) = 16.9\(^\circ\). \(D_{r0}\) après la préparation de l'échantillon (tassage humide) et \(D_{r1}\) au début des chemins de contrainte drainés.

q–\(\varepsilon _q\) lors des trajets de préchargement des essais AP3, AP9, MT2 et MT3 des Figs. 6b,c et 7b,c.

La figure 7 montre les mêmes expériences que sur la figure 6, mais sur des échantillons préparés par la méthode MP humide (tableau 2). Ainsi, l'influence du précisaillement est moins prononcée que sur la Fig. 6 pour la méthode AP. Par rapport à la méthode AP, les échantillons préparés avec la méthode MP montrent une tendance plus faible au comportement contractif pendant les phases de chargement et de déchargement non drainés. Cela peut s'expliquer par le fait que plus de contacts de grains (Fig. 9) sont induits par la technique MT à la même densité. Une grande partie de la précharge était effectivement pré-induite par l'énergie introduite lors de la préparation de l'échantillon. Il se produit donc un préconditionnement de la structure granulaire par l'énergie appliquée, beaucoup plus importante qu'avec l'AP. L'angle de frottement au PTL est ici déterminé comme étant \(\varphi _{PTL}\) = 22,6\(^\circ\), ce qui est inférieur à celui des échantillons préparés par AP. Cette caractéristique permet à l'échantillon MT plus de dilatance et par conséquent une plus grande résistance à la liquéfaction. Les trajets q-\(\varepsilon _q\) pendant les trajets de préchargement présentés dans les Fig. 6b,c et 7b,c sont illustrés sur la Fig. 8. La variation du taux de vides dans les tests MT était marginale et a conduit à des densités relatives égales, tandis que dans AP3 et AP9, une différence entre \(D_{r0}\) et \(D_{r1}\) de 1 et 2 % a été rencontrée, respectivement. Par conséquent, la figure 8b montre une déformation déviatorique comparativement plus grande pour AP9 avec un précisaillement dans la plage d'extension.

Parallèlement à cela, les observations indiquent que les échantillons non compactés préparés par pluviation à l'air ont généralement la résistance cyclique non drainée la plus faible, alors que les échantillons fabriqués par tassage humide se sont avérés endurer plus de cycles jusqu'à la liquéfaction13,17,19,20,35,36. Ladd37,38 a rapporté que les différences entre les résultats dépendent (1) des différences dans les orientations de contact des grains et des particules, (2) des différentes variations du taux de vide (poids unitaire sec) dans les échantillons et (3) de la ségrégation des particules. La technique MT introduit un comportement anisotrope qui n'assure pas des conditions complètement homogènes. En général, on peut dire qu'une densité relative plus élevée entraîne plus de contacts de grains. Dans une comparaison des méthodes de préparation AP et MT, la technique MT conduit à plus de contacts de grains et donc à un comportement de contraction plus faible dans des conditions non drainées. Mulilis et al.39 ont montré que l'orientation préférée des plans tangentiels aux contacts pour les échantillons compactés par AP avec 11\(^\circ\) est inférieure à celle par MT avec 48\(^\circ\). La figure 9 montre schématiquement la disposition et la transmission de force d'un ou deux grains de contact. Avec des grains par ailleurs identiques, la technique MT produit plus de contacts de grains au cours du bourrage, analogue à la Fig. 9b.

(a) un contact de grain et (b) deux contacts de grain.

Néanmoins, il existe une nouvelle étude présentée par36 étudiant l'influence microscopique de la méthode de préparation des échantillons sur le sable de Toyoura à l'aide d'une technique basée sur l'analyse d'images. Il a été indiqué que les échantillons de sable préparés par les méthodes AP et MT peuvent raisonnablement être supposés isotropes transversalement, avec la direction verticale comme axe de symétrie. Dans le plan vertical, les échantillons AP possédaient une anisotropie inhérente prononcée, alors que les échantillons MT avaient tendance à être plus isotropes. Ce comportement distinct de celui décrit précédemment peut être attribué à la forme des grains qui est une propriété intrinsèque40.

L'objectif de ce document de recherche est d'évaluer la qualité de la prédiction de trois modèles de comportement établis ainsi que d'un nouveau modèle constitutif, en accordant une attention particulière à l'histoire du précisaillement des sables en utilisant de petites et de grandes amplitudes de déformation. Des modèles constitutifs qui peuvent décrire des chemins de contrainte plus compliqués, comme un chargement cyclique avec un nombre de cycles \(N \le 100\), en plus du chargement monotone sont étudiés. Les paramètres d'entrée pour KFS ont déjà été déterminés sur la base d'une enquête détaillée sur des expériences de laboratoire existantes et bien documentées, par exemple41,42,43. En tant que représentants des modèles de matériaux avancés et en même temps (comparativement) largement utilisés, l'hypoplasticité44 avec déformation intergranulaire45 (Hypo+IGS), le modèle d'anisotropie de déformation intergranulaire (ISA)46 et le modèle élastoplastique SaniSand47 sont considérés. Les évolutions récentes sont représentées par le modèle à surface de rupture historiotrope (appelé Hypo+YS)42. Un bref résumé des équations et des principales propriétés de chaque modèle est donné à l'annexe A.

La prédiction des tests présentés avec différents chemins de précisaillement sur des échantillons KFS est particulièrement intéressante ici. Cependant, du fait de la variation limitée des conditions aux limites, ces essais sont inadaptés à la détermination de tous les paramètres d'un modèle de comportement. Wichtmann et al.41 documentent une étude numérique dans laquelle la base de données étendue et bien documentée sur KFS de48,49,50 a été utilisée pour calibrer et inspecter SaniSand, Hypo+IGS et ISA, tandis qu'en42 cela a été fait pour Hypo+YS. Cet article utilise les paramètres obtenus et validés dans ces études et répertoriés dans les tableaux 3, 4 et 5.

Pour chaque modèle constitutif, une routine matérielle définie par l'utilisateur (UMAT) par A. Niemunis (Hypo+IGS), M. Tafili (SaniSand et ISA) et CE Grandas Tavera (Hypo+YS) était disponible. Les simulations de test d'éléments ont été réalisées avec le logiciel pilote incrémental développé par A. Niemunis51. Le schéma classique du "prédicteur élastique"52 a été suivi pour effectuer l'implémentation numérique de SaniSand et ISA. Un schéma de sous-pas avec de petits incréments de déformation a été implémenté pour garantir la convergence numérique dans chaque sous-programme.

Le modèle hypoplasique avec déformation intergranulaire nécessite l'étalonnage de huit paramètres pour le chargement monotone et de cinq paramètres supplémentaires pour la déformation intergranulaire, donc pour le chargement cyclique, comme indiqué dans le tableau 3. Ici, les paramètres calibrés en utilisant divers tests triaxiaux monotones et cycliques drainés et non drainés ainsi que des tests oedométriques avec des conditions initiales variables ont été utilisés.

Le modèle ISA nécessite la calibration de 12 paramètres impliqués dans la description du comportement mécanique des sables sous chargement monotone et en plus de 6 paramètres définissant l'anisotropie de déformation intergranulaire. Les paramètres calibrés in41 pour KFS sont employés et présentés dans le tableau 4. Ainsi, le paramètre \(r_F\) tenant compte du tissu inhérent résultant par exemple de la méthode de préparation de l'échantillon a été varié de \(r_F=1,6\) pour la technique AP à \(r_F=0,0\) pour la méthode MP comme expliqué dans l'annexe A.2.

La détermination d'un total de 15 paramètres de matériaux, tels qu'énumérés dans le tableau 5, est requise pour le modèle SaniSand. Des essais triaxiaux monotones et cycliques non drainés, des essais oedométriques ainsi que des essais monotones drainés sont donc nécessaires. Ces paramètres sont également tirés de41, voir Tableau 5.

Le modèle de comportement récemment développé avec une surface de rupture historiotrope42 nécessite la calibration d'un total de 16 paramètres comprenant 3 paramètres pour le tenseur de rigidité hyperélastique, 4 pour l'état critique, 3 pour la courbe de compression limite, deux pour la dilatance et 4 paramètres pour la surface de rupture impliquant des tests oedométriques ainsi que des expériences triaxiales monotones et cycliques. Les paramètres utilisés pour les simulations suivantes sont tirés de42 comme indiqué dans le tableau 6.

Les essais cycliques drainés avec différents historiques de précisaillement ont été réalisés à une pression moyenne initiale \(p_0\) = 100 kPa. Cette condition de contrainte a d'abord été obtenue par consolidation isotrope d'échantillons entièrement saturés. Certains d'entre eux ont ensuite été soumis à divers trajets de précisaillement, soit en régime de compression, soit en régime d'extension. Par conséquent, la ligne de transformation de phase (PTL) est considérée comme une ligne frontière séparant deux domaines différents dans l'espace des contraintes : un où l'échantillon développe de grandes déformations et un autre où il développe de petites déformations comme indiqué par Ishihara et Okada2 et décrit dans "Introduction".

Toutes les simulations ont été réalisées avec la pression de confinement initiale \(\sigma _1 = \sigma _2 = \sigma _3\) = 100 kPa compte tenu de tous les historiques de précisaillement ultérieurs. L'indice des vides initial est calculé selon la relation :

ce qui pour les échantillons denses testés ici (voir les tableaux 1 et 2) donne \(e_0=0,75-0,76\). Une déformation intergranulaire initialement entièrement mobilisée dans une direction isotrope, c'est-à-dire \(\textbf{h}=-R/\sqrt{3} ~ \textbf{1}\) (Hypo+IGS et ISA) a été supposée. Le tenseur de contrainte arrière intergranulaire a ensuite été supposé égal à la moitié de la déformation intergranulaire, c'est-à-dire \(\textbf{c}=-R/(2\sqrt{3}) ~\textbf{1}\) (ISA) et le tenseur de contrainte arrière est égal à l'état de contrainte initial \({\varvec{\sigma }}_B={\varvec{\sigma }}_0\) (SaniSand et Hypo+YS). Chaque étape de chargement a été effectuée en utilisant des chemins proportionnels avec 1000 incréments et des contrôles variables de Roscoe avec \(\Delta q\) et \(\Delta p\) ou \(\Delta \varepsilon _v\) correspondant aux amplitudes et limites spécifiées dans "Méthode et résultats des tests". Les autres déformations de cisaillement ont été maintenues constantes \(\Delta \gamma _{12}=\Delta \gamma _{23}=0\).

Simulations des essais AP1, AP2 (petit précisaillement non drainé) et AP3 (grand précisaillement non drainé en compression triaxiale).

Simulations des essais AP4 (grand précisaillement non drainé le long de CSL en compression triaxiale) et AP5 (grand précisaillement non drainé le long de CSL en compression triaxiale).

La figure 10 présente la comparaison entre les expériences AP1 à AP3 et les simulations avec les quatre modèles constitutifs sélectionnés. Dans AP1, les chemins cycliques drainés ont commencé après la consolidation isotrope (Fig. 10a). Hypo+IGS et SaniSand montrent un chemin de déformation presque symétrique par rapport à la déformation volumétrique isométrique, tandis que Hypo+YS et dans une certaine mesure également ISA suivent les preuves expérimentales avec une déformation déviatorique globale légèrement plus élevée en compression triaxiale. On peut reconnaître que les contraintes volumétriques et déviatoriques du premier cycle drainé sont plus élevées que celles des cycles suivants. Compte tenu du fait que l'échantillon n'était auparavant soumis qu'à un chargement isotrope vierge, le premier cycle drainé en compression triaxiale a indiqué que l'échantillon subit en partie des déformations plastiques au cours de l'application de contraintes de cisaillement pour la première fois. Ce comportement est bien reproduit par Hypo+YS.

L'échantillon AP2 (Fig. 10b) a été soumis à un petit précisaillement non drainé en compression triaxiale, qui s'est terminé légèrement en dessous du PTL a été atteint, tandis que dans AP3 (Fig. 10c) un grand cisaillement entre PTL et CSL en compression triaxiale a été appliqué avant que le chargement cyclique drainé ait eu lieu. Dans les deux cas, les expériences mettent en évidence une réponse plus rigide des échantillons du côté triaxial du précisaillement et plus douce du côté opposé, d'où les échantillons montrent une accumulation de déformation significativement plus importante en extension triaxiale. Alors que la souche volumétrique dans AP1, AP2 et AP3 sont presque les mêmes, la souche déviatorique dans AP2 et AP3 est près de 2,5 et 5 fois plus grande que dans AP1, respectivement. Par conséquent, l'effet de l'amplitude et de la direction du précisaillement non drainé sur l'accumulation de déformation et par la suite sur la résistance à la liquéfaction du sable est essentiel. Cet effet est amplifié dans la Fig. 11 dans le cas de AP4 et AP5 avec un précisaillement encore plus important à une contrainte déviatorique \(q \approx 500\) kPa et \(q \approx 900\) kPa, respectivement. Dans les deux cas, la déformation déviatorique est 10 fois plus importante que dans AP1. Dès lors, deux observations peuvent être faites. Premièrement, avec un précisaillement plus important dans une direction, l'échantillon devient plus mou dans la direction opposée. Deuxièmement, après l'approche du CSL, les incréments ultérieurs de l'amplitude de précisaillement n'ont plus d'influence sur l'accumulation de déformation ; une valeur seuil est atteinte. Parmi les modèles constitutifs étudiés ici, seul Hypo+YS est capable de prédire ce comportement, en particulier l'accumulation de déformation due aux cycles de contrainte appliqués en éventail ainsi que l'influence de l'historique de précisaillement non drainé. En raison du tenseur de contrainte arrière anisotrope \ ({\ varvec {\ sigma }} _B \) (voir annexe) en conjonction avec la surface historiotrope, qui, outre l'historique de chargement récent, stocke l'historique de précisaillement "ancien", donc "petit et grand précisaillement" ainsi, le modèle est capable de capturer l'influence de l'histoire de précisaillement petit et grand sur l'accumulation de déformation de sable.

Tous les autres modèles prédisent généralement que le comportement du matériau est trop rigide. Les contraintes lors du chargement initial dans la première moitié du premier cycle s'avèrent trop faibles. De plus, la rigidité sécante pendant les cycles de contraintes en éventail est sous-estimée. Le déchargement et le rechargement suivent le même chemin de déformation et il n'y a pratiquement aucune accumulation de déformation. Comme indiqué dans41, ces modèles fonctionnent bien dans les essais cycliques avec précompression.

Simulations des essais AP7 (petit précisaillement non drainé en extension triaxiale), AP8 (petit précisaillement non drainé en extension triaxiale) et AP9 (grand précisaillement non drainé en extension triaxiale).

La figure 12 montre des simulations des essais AP7 et AP8 avec petit précisaillement non drainé en extension triaxiale et AP9 avec grand précisaillement non drainé en extension triaxiale. Ces essais vérifient les résultats des expériences AP1 à AP5 avec précisaillement en compression triaxiale. En raison du précisaillement en extension triaxiale, la réponse du matériau est ici plus douce en compression triaxiale, de sorte que l'accumulation se produit également dans la direction postérieure et est d'autant plus importante que le précisaillement s'est produit. Le comportement expérimental ne peut être reproduit qu'avec Hypo+YS de manière satisfaisante, tandis que les autres modèles montrent une influence négligeable du précisaillement non drainé sur l'accumulation de déformation ultérieure due aux cycles drainés à la fois en compression triaxiale et en extension triaxiale.

Certains des essais ont été répétés pour des échantillons préparés par bourrage humide et sont représentés sur la Fig. 13 : MT1 sans précisaillement, MT2 avec précisaillement important non drainé en compression triaxiale et MT3 avec précisaillement faible non drainé en extension triaxiale. L'influence du précisaillement sur l'accumulation de déformation des échantillons préparés par cette technique est moins prononcée, comme indiqué également dans "Méthode et résultats des tests". Hypo+IGS, SaniSand et Hypo+YS montrent des résultats égaux à ceux des échantillons préparés par pluviation à l'air et ne sont donc pas en mesure de reproduire l'influence des différentes techniques de préparation des échantillons sur le comportement mécanique du sable avec le même jeu de paramètres. Cependant, cela était attendu en raison du fait que la même procédure d'initialisation que pour les échantillons AP a été utilisée. L'apport d'énergie supplémentaire par la méthode MP n'est donc pas reflété dans les variables d'état internes et des recherches supplémentaires du point de vue microscopique sont nécessaires à cette fin. Du fait que Hypo+IGS, ISA et SaniSand montrent une influence marginale du précisaillement non drainé sur l'accumulation de déformation, ils fournissent un meilleur accord avec les résultats expérimentaux des échantillons préparés par MT que Hypo+YS. De plus, le paramètre ISA \(r F=0,0\) a été inclus pour ces simulations afin de prendre en compte l'impact de la procédure de préparation de l'échantillon sur l'évolution de la structure du sable. Par conséquent, en comparant les deux stratégies de préparation, le modèle ISA offre un meilleur accord avec les résultats expérimentaux. D'autres méthodes qui introduisent une variable d'état tensorielle supplémentaire, dont l'initialisation prend en considération les orientations de contact entre les grains à la suite de la préparation de l'échantillon, telles que celles in36,53,54, peuvent être adoptées à l'avenir. Par conséquent, sans introduire les variables associées au tissu inhérent, un ensemble distinct de paramètres de modèle pour chaque méthode de préparation d'échantillon est nécessaire pour Hypo+IGS, SaniSand et Hypo+YS.

Simulations d'essais avec bourrage humide : MT1, MT2 (gros précisaillement non drainé en compression triaxiale) et MT3 (petit précisaillement non drainé en extension triaxiale).

Comme décrit dans l'introduction, la motivation de ce travail était entre autres les découvertes d'Ishihara et Okada2 où il a été découvert que des échantillons soumis à un grand précisaillement d'un côté du chargement triaxial, de la compression ou de l'extension, devenaient plus rigides de ce côté, mais plus mous de l'autre côté. Ce comportement est prouvé avec les expériences de cet article également pour le post-chargement drainé cyclique. Pour étudier les performances des modèles pour le chargement cyclique non drainé, donc aussi son applicabilité pour des conditions de chargement similaires à celles d'un tremblement de terre après un grand précisaillement, le test présenté à la Fig. 22 est simulé dans ce qui suit. Dans cet essai, l'échantillon a d'abord été soumis à environ 6 cycles avec \(q^{{\text{ampl }}}=0,4\) kg/cm\(^2\) puis à une contrainte déviatorique importante \(q=1,1\) kg/cm\(^2\) en compression triaxiale. Ensuite, l'échantillon a été reconsolidé et soumis à nouveau à la contrainte du déviateur cyclique \(q^{{\text{ampl }}}=0,4\) kg/cm\(^2\). À la fin du premier chargement cyclique, la contrainte effective moyenne a été réduite à sa moitié, d'où une pression d'eau interstitielle pouvant atteindre 50 % de la pression de confinement initiale, tandis qu'à la fin d'un précisaillement important, elle a augmenté à 80 %. Dans le deuxième chargement cyclique, la rigidité dans la partie de compression triaxiale était plus élevée par rapport au premier chargement cyclique. Par la suite, le cisaillement en extension triaxiale a conduit à une accumulation de pression d'eau interstitielle d'environ 80 % de la pression de confinement initiale au tout premier cycle. Au premier chargement cyclique, il s'élevait à environ 25 % au tout premier cycle, même si l'indice des vides initial était plus élevé. La grande différence dans le comportement du sol entre la compression triaxiale et l'extension peut être attribuée au fait que l'échantillon a été soumis à un précisaillement important en compression triaxiale dans la première phase du chargement cyclique, ce qui est une sorte de préconditionnement et rend ainsi l'échantillon difficile à déformer davantage dans cette direction, comme cela a également été prouvé dans la partie expérimentale de cet article.

Les simulations avec les modèles sont menées avec les paramètres de KFS utilisés dans la section précédente, donc aucun recalibrage des paramètres avec les données fournies en 2 n'a été entrepris pour deux raisons. Tout d'abord, l'objectif de cet article n'est pas la calibration des modèles mais leur réponse qualitative aux petits et grands précisaillements. Deuxièmement, in2 7 essais cycliques sans fournir les données brutes ou les chemins complets contrainte-déformation sont présentés. Un calibrage des paramètres monotones des modèles sur la base de ces tests est peu probable, et aucune validation des performances des modèles ne serait alors possible. Ainsi, afin d'obtenir la réponse qualitative des modèles basés sur des paramètres calibrés sur une base de données étendue, les paramètres de KFS sont utilisés. Le taux de vide initial a été choisi en tenant compte de la densité relative initiale de l'expérience. Toutes les autres variables d'état ont été initialisées comme indiqué dans "Comportement cyclique de KFS soumis à un petit et un grand précisaillement". Hypo+IGS ainsi que ISA montrent une réponse plus rigide dans le second chargement cyclique que dans le premier, même si le grand précisaillement a été bien modélisé (voir Fig. 14). Le modèle SaniSand suit les observations de Hypo+IGS et ISA, procédant à une réponse plus douce dans la dernière partie (compression triaxiale) du deuxième chargement cyclique, ce qui n'est pas en concordance avec la tendance de l'expérience. Seul Hypo+YS représente le comportement du matériau en bon accord avec celui obtenu dans le test. Par conséquent, le modèle décrit bien l'influence du petit et du grand précisaillement sur le comportement du matériau, ce qui en fait un candidat approprié pour l'analyse par éléments finis des problèmes géotechniques associés aux risques sismiques, entre autres.

Comportement du sable soumis à un fort précisaillement. Expérience menée sur Fuji River Sand2, simulations sur KFS pour comparaison qualitative (les couleurs claires représentent le premier chargement, les couleurs foncées représentent le deuxième chargement).

Des essais triaxiaux avec une nouvelle combinaison de précisaillement non drainé et de chemins de contrainte drainés en contrôlant les contraintes axiales et radiales (couplage entre contrainte moyenne et déviatrice) ont montré que la structure du sol (échantillons préparés par pluviation à air sec ou compactage humide de KFS) ainsi que l'historique (amplitude de déformation ou de contrainte) du précisaillement ont une influence significative sur le comportement du sol, notamment en traitant les chargements cycliques. Les expériences mettent en évidence une réponse plus rigide des échantillons dans le sens du précisaillement, et plus douce du côté opposé. Après l'approche du CSL, l'augmentation de l'amplitude de précisaillement n'a plus d'influence sur l'accumulation de déformation ; une valeur seuil est susceptible d'être atteinte. En revanche, l'influence du précisaillement sur l'accumulation de déformation des échantillons préparés par tassage humide s'est avérée négligeable. Cet effet peut être attribué au fait que plus de contacts de grains ou une condition préalable au chargement cyclique sont présents dans les échantillons MT en raison de la méthode de préparation et donc moins de possibilité de réarrangement des grains (anisotropie induite) pendant le précisaillement est attendue.

Quatre modèles constitutifs avancés sont inspectés en utilisant des paramètres matériels bien documentés de KFS de la littérature. Seul Hypo+YS a pu représenter l'influence des petites et grandes amplitudes de précisaillement sur le comportement du sol en bon accord avec les expériences. En revanche, Hypo+IGS, ISA et SaniSand ont montré des inconvénients fondamentaux dans la reproduction d'effets de précisaillement importants. Enfin, l'essai triaxial cyclique non drainé avec grand précisaillement de2 a été simulé avec les modèles retenus et il en ressort que seul Hypo+YS peut reproduire la forte réduction du nombre de cycles à la liquéfaction due à un grand précisaillement.

Les ensembles de données généralisés et analysés au cours de la présente étude sont disponibles auprès de l'auteur correspondant sur demande raisonnable.

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L'étude présentée a été financée par le Conseil allemand de la recherche (DFG, projet n° TR 218/29-1). Les auteurs sont reconnaissants à DFG pour le soutien financier. Les tests ont été effectués par le technicien H. Borowski dans le laboratoire de mécanique des sols de l'Institut de mécanique des sols et de mécanique des roches, Institut de technologie de Karlsruhe. Nous reconnaissons le soutien des fonds de publication en libre accès de la Ruhr-Universität Bochum.

Financement Open Access activé et organisé par Projekt DEAL.

Keller Grundbau GmbH, Renchen, Allemagne

L Knittel

Ingénierie des fondations et géotechnique environnementale, Ruhr-University Bochum, Bochum, Allemagne

M. Tafili & Th. Triantaphyldis

Mécanique des sols et fondations/génie géotechnique, Université de technologie de Brandebourg, Cottbus, Allemagne

CE Grandas Tavera

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LK et MT ont rédigé le texte principal du manuscrit et le CEGT a révisé en profondeur et élargi l'idée de recherche. LK a planifié et supervisé toutes les expériences en tenant compte des idées de MT, CEGT et TT L'auteur MT a réalisé toutes les simulations et mis en œuvre les modèles constitutifs. TT a assuré le financement du projet et a ajouté des informations précieuses sur les discussions. Tous les auteurs ont examiné le manuscrit.

Correspondance à M. Tafili.

Les auteurs ne déclarent aucun intérêt concurrent.

Springer Nature reste neutre en ce qui concerne les revendications juridictionnelles dans les cartes publiées et les affiliations institutionnelles.

Le modèle hypoplasique pour le sable proposé en 199644 est ici utilisé conjointement avec la déformation intergranulaire proposée en 199745. La nouvelle variable d'état \(\textbf{h}\) appelée déformation intergranulaire a été introduite pour les modèles hypoplasiques afin d'améliorer leurs performances dans la gamme des petits cycles de charge.

En général, l'équation constitutive de Hypo + IGS relie le taux de contrainte effectif objectif \({\mathring{{\varvec{\sigma }}}}\) avec le taux de déformation \({\dot{{\varvec{\varepsilon }}}}\) :

où \(\textsf{M}\) est un tenseur du quatrième ordre représentant la rigidité tangentielle. Il est calculé à partir des tenseurs hypoplasiques barotropes et pycnotropes \({\textsf{L}}({\varvec{\sigma }},e)\) et \(\textbf{N}({\varvec{\sigma }},e)\) qui sont convenablement augmentés, en fonction de la direction de chargement et de la taille de la déformation intergranulaire évoluée. Par exemple, pour une déformation monotone avec \(\dot{{\varvec{\varepsilon }}}\propto {\mathop {\textbf{h}}\limits ^{\rightarrow }}\) l'équation hypoplastique :

est récupéré. Pour la déformation inversée, c'est-à-dire \(\dot{{\varvec{\varepsilon }}}\propto -{\mathop {\textbf{h}}\limits ^{\rightarrow }}\)24 la rigidité est augmentée du paramètre matériau \(m_R\) et la partie non linéaire de l'équation hypoplasique est désactivée, donc \({\textsf{M}}=m_R{\textsf{L}}\), \({ \textsf{L}}\) étant le tenseur élastique de rigidité tangente du quatrième ordre. Enfin, sous un taux de déformation neutre, c'est-à-dire \(\dot{{\varvec{\varepsilon }}}\perp {\mathop {\textbf{h}}\limits ^{\rightarrow }}\) une rigidité légèrement augmentée est obtenue en utilisant le paramètre \(m_R\ge m_T\ge 1\), c'est-à-dire \({\textsf{M}}=m_T{\textsf{L}}\).

Pour plus de détails sur les équations de Hypo+IGS, l'attention du lecteur est attirée sur24,44,45.

Le modèle d'anisotropie de déformation intergranulaire (ISA) est proposé dans55 en étendant et reformulant la déformation intergranulaire de45. La formulation élasto-plastique de la déformation intergranulaire couplée à une réponse mécanique plastique du modèle sous déformation intergranulaire totalement mobilisée rend le modèle élasto-hypoplastique. Ceci est réalisé grâce à un rendement et une surface de délimitation dans l'espace de déformation intergranulaire :

où les tenseurs du second ordre \(\textbf{h}\) et \(\textbf{c}\) désignent respectivement la déformation intergranulaire et la déformation intergranulaire arrière. La taille de la surface d'élasticité est régie par son rayon, le paramètre de matériau R auquel seule une légère dégradation du module de cisaillement est autorisée, c'est-à-dire le rapport \(G/G_{\max }\approx\) const.

L'équation constitutive du comportement mécanique relie le taux de contrainte \(\dot{{\varvec{\sigma }}}\) avec le taux de déformation \(\dot{{\varvec{\varepsilon }}}\) via la rigidité tangentielle hypoplasique \({\textsf{E}}\) :

avec le taux de déformation plastique dépendant de \(\dot{{\varvec{\varepsilon }}}^p({\varvec{\sigma }},\dot{{\varvec{\varepsilon }}},\textbf{h},e)\). A l'intérieur de la surface de rupture intergranulaire \(\Vert \textbf{h}\Vert

Parmi les modèles considérés dans ce travail, le modèle ISA est le seul qui rende compte du tissu inhérent et de la dilatance. L'anisotropie inhérente selon la méthode de préparation de l'échantillon est considérée via le paramètre \(r_F\). Des valeurs inférieures de \(r_F\) fournissent une réponse plus dilatante du modèle. Par exemple, si la méthode de bourrage humide est considérée comme la méthode de préparation donnant le comportement le plus dilatant, la valeur \(r_F=0\) fournit une bonne approximation, alors que pour les autres méthodes de préparation d'échantillons, \(r_F=1-3\) est recommandée55.

La famille de modèles SaniSand a attiré une attention accrue de la part des chercheurs au cours des dernières décennies, ce qui a entraîné un nombre important de modèles publiés, par exemple47,63,64,65,66. Enfin, la surface d'élasticité de ce modèle a été réduite même à zéro et devient identique au point de contrainte lui-même, et le chargement plastique se produit pour n'importe quelle direction du taux de rapport de contrainte dont dépendent maintenant les directions du chargement et du taux de déformation plastique, rendant le modèle progressivement non linéaire67. Le modèle est donc dans cette version transformé en une sorte d'hypoplasticité. Néanmoins, la version la plus utilisée est celle développée par Dafalias & Manzari en 200447 et donc elle sera utilisée dans la suite.

Il représente une surface élastique de type "coin" dans l'espace \(pq\) sous forme généralisée obéissant à la relation suivante :

avec le tenseur de contrainte déviatorique \(\textbf{s}\), le tenseur de rapport de contrainte arrière \({\varvec{\alpha }}\) et le paramètre de matériau m définissant l'ouverture du coin. Outre ces variables, une variable tensorielle interne de dilatance de tissu \(\textbf{z}\) pour modéliser l'effet du changement de tissu sur la dilatance est introduite dans le modèle. L'équation d'évolution élasto-plastique (indice ep) de la contrainte prend alors les dépendances suivantes :

avec la déformation plastique \({\varvec{\varepsilon }}^p\). Pour plus de détails sur la formulation mathématique de SaniSand, le lecteur intéressé est renvoyé à47.

Le modèle à surface de rupture historiotrope développé par42 est également connu sous le nom de modèle d'anamnèse constitutive pour le sable en raison de sa similitude avec le modèle d'anamnèse constitutive pour l'argile (CAM)68. Elle combine l'équation hypoplastique avec une surface de rupture dans l'espace des contraintes31. La surface de rupture est utilisée pour décrire l'intensité de l'écoulement anélastique en définissant l'état des sols au moyen de la contrainte actuelle, de l'indice des vides et du tenseur de contre-contrainte \({\varvec{\sigma }}_B\). Néanmoins, la réponse du modèle de matériau à l'intérieur de la surface d'écoulement n'est pas élastique, mais l'intensité des taux de déformation plastique devient dépendante de la distance à la surface d'écoulement.

L'équation d'évolution principale du modèle relie le taux de contrainte au taux de déformation en utilisant une formulation de type hypoplasique :

où le tenseur de quatrième rang \({\textsf{E}}({\varvec{\sigma }},e)\) est une rigidité hyperélastique, \(Y({\varvec{\sigma }},e,{\varvec{\sigma }}_B)\) est le degré de non-linéarité et \(\textbf{m}({\varvec{\sigma }},e,{\varvec {\sigma }}_B,{\mathop {\dot{{\varvec{\varepsilon }}^*}}\limits ^{\rightarrow }})\) est la règle de flux. \({\varvec{\varepsilon }}^*\) désigne la partie déviatorique du tenseur de déformation.

Caractéristique distinctive du modèle, une généralisation de la règle de dilatance de Taylor69 assure la reproduction d'une forte contractance lors du chargement d'inversion observé dans les expériences sans l'introduction de variables d'état supplémentaires comme par exemple le tenseur de dilatance de tissu.

Pour un aperçu détaillé de la formulation du modèle, l'attention du lecteur est attirée sur31.

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Réimpressions et autorisations

Knittel , L. , Tafili , M. , Tavera , CEG et al. Nouvelles perspectives sur l'histoire du précisaillement dans les sols granulaires. Sci Rep 13, 4576 (2023). https://doi.org/10.1038/s41598-023-31419-9

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Reçu : 13 octobre 2022

Accepté : 11 mars 2023

Publié: 20 mars 2023

DOI : https://doi.org/10.1038/s41598-023-31419-9

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