Quanta Magazine

26 avril 2023

Kristina Armitage/Quanta Magazine

Auteur collaborateur

26 avril 2023

La première preuve que beaucoup de gens apprennent, au début du lycée, est la preuve du mathématicien grec Euclide qu'il existe une infinité de nombres premiers. Il ne prend que quelques lignes et n'utilise aucun concept plus compliqué que les nombres entiers et la multiplication.

Sa preuve repose sur le fait que, s'il y avait un nombre fini de nombres premiers, les multiplier tous ensemble et ajouter 1 impliquerait l'existence d'un autre nombre premier. Cette contradiction implique que les nombres premiers doivent être infinis.

Les mathématiciens ont un passe-temps curieusement populaire : le prouver encore et encore.

Pourquoi s'embêter à faire ça ? D'une part, c'est amusant. Plus important encore, "je pense que la frontière entre les mathématiques récréatives et les mathématiques sérieuses est très mince", a déclaré William Gasarch, professeur d'informatique à l'Université du Maryland et auteur d'une nouvelle preuve publiée en ligne plus tôt cette année.

La preuve de Gasarch n'est que la dernière d'une longue succession de nouvelles preuves. En 2018, Romeo Meštrović de l'Université du Monténégro a compilé près de 200 preuves du théorème d'Euclide dans une enquête historique complète. En effet, tout le domaine de la théorie analytique des nombres, qui utilise des quantités à variation continue pour étudier les nombres entiers, est sans doute né en 1737, lorsque le géant des mathématiques Leonhard Euler a utilisé le fait que la série infinie 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + … diverge (ce qui signifie qu'elle ne donne pas un nombre fini), pour prouver à nouveau qu'il existe un nombre infini de nombres premiers.

Christian Elsholtz, mathématicien à l'Université de technologie de Graz en Autriche et auteur d'une autre preuve récente, a déclaré qu'au lieu de prouver des résultats concrets à partir de nombreux résultats plus petits - ce que font les mathématiciens lorsqu'ils assemblent systématiquement des lemmes en théorèmes - il a fait le contraire. "J'utilise le dernier théorème de Fermat, qui est vraiment un résultat non trivial. Et puis je conclus un résultat très simple." Travailler en arrière comme cela peut révéler des liens cachés entre différents domaines des mathématiques, a-t-il déclaré.

"Il y a une petite compétition pour que les gens aient la preuve la plus ridiculement difficile", a déclaré Andrew Granville, mathématicien à l'Université de Montréal et auteur de deux autres preuves. "Cela doit être amusant. Faire quelque chose de techniquement horrible n'est pas le but. La seule façon de faire quelque chose de difficile, c'est que ce soit amusant."

Granville a dit qu'il y a un sérieux point à cette surenchère amicale. Les chercheurs ne sont pas seulement nourris de questions qu'ils essaient de résoudre. "Le processus de création en mathématiques ne consiste pas à définir une tâche pour une machine et la machine la résout. Il s'agit de quelqu'un qui prend ce qu'il a fait dans le passé et l'utilise pour créer une technique et créer un moyen de développer des idées."

Comme le dit Gasarch, "Tous les articles, ils passent d'une nouvelle preuve mignonne que les nombres premiers sont infinis à des mathématiques sérieuses. Un jour, vous regardez juste les nombres premiers, et le lendemain, vous regardez les densités de carrés."

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William Gasarch, professeur à l'Université du Maryland, est le dernier d'une longue lignée de mathématiciens à proposer une nouvelle preuve que les nombres premiers sont infinis.

Evan Golub

La preuve de Gasarch commence par le fait que si vous colorez les entiers avec un nombre fini de couleurs, il y aura toujours une paire de nombres de la même couleur dont la somme est aussi cette couleur, ce qui a été prouvé en 1916 par Issai Schur. Gasarch a utilisé le théorème de Schur pour montrer que, s'il y avait un nombre fini de nombres premiers, alors il existerait un cube parfait (un entier, comme 125, qui est égal à un autre entier multiplié par lui-même trois fois) qui est la somme de deux autres cubes parfaits. Mais en 1770, Euler avait prouvé qu'un tel cube n'existait pas - le cas n = 3 du dernier théorème de Fermat, qui postule qu'il n'y a pas de solutions entières à an + bn = cn pour n supérieur à 2. Sur la base de cette contradiction, Gasarch a estimé qu'il devait y avoir un nombre infini de nombres premiers.

L'une des preuves de Granville de 2017 utilisait un théorème différent de celui de Fermat. Granville s'appuyait principalement sur un théorème de 1927 de Bartel Leendert van der Waerden, qui montrait que si vous colorez les entiers avec un nombre fini de couleurs, il existe toujours des chaînes arbitrairement longues d'entiers régulièrement espacés de la même couleur. Comme Gasarch, Granville a commencé avec l'hypothèse que les nombres premiers sont finis. Il a ensuite utilisé le théorème de van der Waerden pour trouver une séquence de quatre carrés parfaits uniformément espacés et de couleur identique. Mais Fermat avait prouvé qu'une telle séquence ne pouvait exister. Contradiction! Puisqu'une telle séquence pourrait exister s'il y avait un nombre fini de nombres premiers, mais elle ne peut pas exister, il doit y avoir un nombre infini de nombres premiers. La preuve de Granville était la deuxième preuve principale récente à s'appuyer sur le théorème de van der Waerden - Levent Alpöge, maintenant postdoctorant à l'Université de Harvard, avait également utilisé le résultat dans un article de 2015, publié alors qu'il était encore à l'université.

Granville est un fan particulier de l'article d'Elsholtz, qui applique également le dernier théorème de Fermat et l'hypothèse contrefactuelle selon laquelle il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers. Comme Gasarch, Elsholtz a incorporé le théorème de Schur, bien que d'une manière quelque peu différente. Elsholtz a également donné une deuxième preuve en utilisant un théorème de 1953 de Klaus Roth, qui dit que les ensembles d'entiers d'une certaine taille doivent contenir des groupes de trois nombres régulièrement espacés.

Certaines questions mathématiques plus profondes – et même pratiques – pourraient trouver une réponse en s'appuyant sur ce travail. Par exemple, le chiffrement à clé publique qui repose sur la difficulté de factoriser de grands nombres serait très facile à casser si nous vivions dans un monde avec un nombre fini de nombres premiers. Elsholtz se demande s'il pourrait donc y avoir un lien entre les preuves d'un nombre infini de nombres premiers et prouver à quel point il est difficile de déchiffrer de tels schémas de chiffrement. Il y a "un lien faible avec le théorème d'Euclide", a déclaré Elsholtz. "Ce serait intéressant de voir les liens plus profonds."

Granville a déclaré que les meilleures mathématiques peuvent provenir d'étranges combinaisons de différents domaines et sujets et émergent souvent après que les mathématiciens ont passé des années à se pencher sur des problèmes de niveau inférieur mais amusants. Il est fasciné par le fait que des sujets apparemment lointains pourraient être appliqués à la théorie des nombres. Dans une enquête récente, Granville a loué "l'élégance clairsemée" d'une preuve de 1955 par Hillel Furstenberg, qui utilisait la topologie par points. Comme Alpöge, Furstenberg était encore à l'université lorsque sa preuve a été publiée. Il poursuivra une illustre carrière dans diverses disciplines mathématiques.

Granville a demandé de manière rhétorique si les nouvelles preuves de l'ancien résultat d'Euclide étaient "juste de la curiosité ou quelque chose qui a une certaine importance à long terme". Répondant à sa propre question, il a dit : "Je ne peux pas vous le dire."

Auteur collaborateur

26 avril 2023

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